隐函数求导隐函数求导是微积分中的重要技巧，用于求由方程确定的函数的导数。
隐函数求导方法基本步骤：
对方程两边同时对 xxx 求导将 yyy 视为 xxx 的函数解出 y′y'y′隐函数求导的原理隐函数求导基于链式法则。当方程 F(x,y)=0F(x, y) = 0F(x,y)=0 确定 yyy 为 xxx 的函数时，我们有：
ddxF(x,y)=∂F∂x+∂F∂y⋅dydx=0\frac{d}{dx}F(x, y) = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0dxdF(x,y)=∂x∂F+∂y∂F⋅dxdy=0
从而得到：
dydx=−∂F∂x∂F∂y\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}dxdy=−∂y∂F∂x∂F
基本例子例子 1：圆的方程求 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1x2+y2=1 确定的隐函数的导数
解：
两边对 xxx 求导：2x+2yy′=02x + 2yy' = 02x+2yy′=0解出 y′y'y′：y′=−xyy' = -\frac{x}{y}y′=−yx例子 2：三次曲线求 x3+y3=3xyx^3 + y^3 = 3xyx3+y3=3xy 确定的隐函数的导数
解：
两边对 xxx 求导：3x2+3y2y′=3y+3xy′3x^2 + 3y^2y' = 3y + 3xy'3x2+3y2y′=3y+3xy′整理：3y2y′−3xy′=3y−3x23y^2y' - 3xy' = 3y - 3x^23y2y′−3xy′=3y−3x2解出 y′y'y′：y′=y−x2y2−xy' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}y′=y2−xy−x2复杂隐函数求导例子 3：指数函数求 exy+x2+y2=1e^{xy} + x^2 + y^2 = 1exy+x2+y2=1 确定的隐函数的导数
解：
两边对 xxx 求导：exy(y+xy′)+2x+2yy′=0e^{xy}(y + xy') + 2x + 2yy' = 0exy(y+xy′)+2x+2yy′=0整理：exyy+xexyy′+2x+2yy′=0e^{xy}y + xe^{xy}y' + 2x + 2yy' = 0exyy+xexyy′+2x+2yy′=0解出 y′y'y′：y′=−exyy+2xxexy+2yy' = -\frac{e^{xy}y + 2x}{xe^{xy} + 2y}y′=−xexy+2yexyy+2x例子 4：对数函数求 ln(x2+y2)=xy\ln(x^2 + y^2) = xyln(x2+y2)=xy 确定的隐函数的导数
解：
两边对 xxx 求导：2x+2yy′x2+y2=y+xy′\frac{2x + 2yy'}{x^2 + y^2} = y + xy'x2+y22x+2yy′=y+xy′整理：2x+2yy′=(x2+y2)(y+xy′)2x + 2yy' = (x^2 + y^2)(y + xy')2x+2yy′=(x2+y2)(y+xy′)解出 y′y'y′：y′=(x2+y2)y−2x2y−(x2+y2)xy' = \frac{(x^2 + y^2)y - 2x}{2y - (x^2 + y^2)x}y′=2y−(x2+y2)x(x2+y2)y−2x隐函数求导的几何意义隐函数求导的几何意义是求曲线在某点的切线斜率。
例子：对于圆 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1x2+y2=1，在点 (a,b)(a, b)(a,b) 处的切线斜率为 −ab-\frac{a}{b}−ba。
练习题练习 1求由方程 x3+y3=3xyx^3 + y^3 = 3xyx3+y3=3xy 确定的隐函数的导数。
参考答案解题思路： 使用隐函数求导方法。
详细步骤：
两边对 xxx 求导：3x2+3y2y′=3y+3xy′3x^2 + 3y^2y' = 3y + 3xy'3x2+3y2y′=3y+3xy′整理：3y2y′−3xy′=3y−3x23y^2y' - 3xy' = 3y - 3x^23y2y′−3xy′=3y−3x2解出 y′y'y′：y′=y−x2y2−xy' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}y′=y2−xy−x2答案：y′=y−x2y2−xy' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}y′=y2−xy−x2
练习 2求由方程 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1x2+y2=1 确定的隐函数的导数。
参考答案解题思路： 使用隐函数求导方法。
详细步骤：
两边对 xxx 求导：2x+2yy′=02x + 2yy' = 02x+2yy′=0解出 y′y'y′：y′=−xyy' = -\frac{x}{y}y′=−yx答案：y′=−xyy' = -\frac{x}{y}y′=−yx
练习 3求由方程 x2+xy+y2=3x^2 + xy + y^2 = 3x2+xy+y2=3 确定的隐函数的导数。
参考答案解题思路： 使用隐函数求导方法。
详细步骤：
两边对 xxx 求导：2x+y+xy′+2yy′=02x + y + xy' + 2yy' = 02x+y+xy′+2yy′=0整理：(x+2y)y′=−(2x+y)(x + 2y)y' = -(2x + y)(x+2y)y′=−(2x+y)解出 y′y'y′：y′=−2x+yx+2yy' = -\frac{2x + y}{x + 2y}y′=−x+2y2x+y答案：y′=−2x+yx+2yy' = -\frac{2x + y}{x + 2y}y′=−x+2y2x+y
练习 4求由方程 ex+y=x2+y2e^{x+y} = x^2 + y^2ex+y=x2+y2 确定的隐函数的导数。
参考答案解题思路： 使用隐函数求导方法，注意指数函数的求导。
详细步骤：
两边对 xxx 求导：ex+y(1+y′)=2x+2yy′e^{x+y}(1 + y') = 2x + 2yy'ex+y(1+y′)=2x+2yy′整理：ex+y+ex+yy′=2x+2yy′e^{x+y} + e^{x+y}y' = 2x + 2yy'ex+y+ex+yy′=2x+2yy′解出 y′y'y′：y′=2x−ex+yex+y−2yy' = \frac{2x - e^{x+y}}{e^{x+y} - 2y}y′=ex+y−2y2x−ex+y答案：y′=2x−ex+yex+y−2yy' = \frac{2x - e^{x+y}}{e^{x+y} - 2y}y′=ex+y−2y2x−ex+y
练习 5求由方程 ln(x2+y2)=2xy\ln(x^2 + y^2) = 2xyln(x2+y2)=2xy 确定的隐函数的导数。
参考答案解题思路： 使用隐函数求导方法，注意对数函数的求导。
详细步骤：
两边对 xxx 求导：2x+2yy′x2+y2=2y+2xy′\frac{2x + 2yy'}{x^2 + y^2} = 2y + 2xy'x2+y22x+2yy′=2y+2xy′整理：2x+2yy′=(x2+y2)(2y+2xy′)2x + 2yy' = (x^2 + y^2)(2y + 2xy')2x+2yy′=(x2+y2)(2y+2xy′)解出 y′y'y′：y′=2y(x2+y2)−2x2y−2x(x2+y2)y' = \frac{2y(x^2 + y^2) - 2x}{2y - 2x(x^2 + y^2)}y′=2y−2x(x2+y2)2y(x2+y2)−2x答案：y′=2y(x2+y2)−2x2y−2x(x2+y2)y' = \frac{2y(x^2 + y^2) - 2x}{2y - 2x(x^2 + y^2)}y′=2y−2x(x2+y2)2y(x2+y2)−2x